Siirry sisältöön

Vastaantulon neljäs ja viimeinen työpajapäivä Numeroita! Matematiikan oppiminen kielen näkökulmastajärjestettiin tuttuun tapaan Helsingin yliopiston Siltavuorenpenkereellä. Ystävänpäivänä pidettyyn työpajaan kokoontui joukko innostuneita valmistavan luokan opettajia pohtimaan matematiikan ja kielen välistä suhdetta. Päivän aloitti projektisuunnittelija Ninni Lankinen kertomalla Vastaantulon tavoitteista sekä uusimmista kuulumisista.

Ensimmäisenä puheenvuorona kuulimme matematiikan didaktikko Päivi Portaankorva-Koiviston esityksen, joka käsitteli matematiikan kielen osa-alueita ja matematiikan kielelle ominaisia piirteitä. Puheenvuorossa tuli esille muun muassa niitä haasteita, joita vastasaapuneet oppilaat voivat kohdata matematiikan opiskelussaan uudella kielellä. Pääsimme puheenvuoron siivittämänä pohtimaan myös sitä, millaista kielitaitoa matematiikan sanallisten tehtävien ratkaiseminen vaatii.

Päivi Portaankorva-Koivisto esittelee matematiikan kielen erityispiirteitä.

Saman teeman parissa myös jatkoi hankkeen johtaja Maria Ahlholm esittelemällä Vastaantulon tuoretta tutkimusaineistoa valmistavasta luokasta. Näimme esimerkkejä paritehtävistä, joissa vastasaapuneet oppilaat ratkovat yhdessä matematiikan tehtäviä. Ahlholmin esitelmässä pääsimme kuulemaan havaintoja siitä, miten oppilaat keskustelivat tehtävistä kaikkia osaamiaan kieliä hyödyntäen – monikielistä matikkapuhetta siis parhaimmillaan!

Seuraavaksi yläkoulun valmistavaa ryhmää Vantaalla opettava Jutta Laakso kertoi luokkansa rutiineista matematiikan opetuksessa. Innostavassa puheenvuorossa saimme kuulla toimiviksi todettuja kokemuksia matematiikan eriyttämisestä, toiminnallisuudesta, materiaaleista ja matematiikan sanaston opettelusta valmistavassa luokassa. Laakson puheenvuoro herätti antoisaa keskustelua opettajien kesken muun muassa siitä, millaisilla tavoilla matematiikan sanaston opettelua voi tuoda osaksi oppitunteja ja millaiset materiaalit ovat olleet luokissa toimivia. Puolin ja toisin jaettiin hyväksi koettuja materiaalivinkkejä; kehuja opettajilta saivat etenkin selkeärakenteiset ja omatoimisuuteen kannustavat materiaalit.

Ylasteen valmistavassa matikassa opettajan oppaat ja tukiopetusmateriaalit ovat kovassa käytössä. Kuva Jutta Laakson esityksestä.

Lounaan jälkeen päästiin työpajatyöskentelyn pariin. Tarkoituksena oli pienissä ryhmissä luoda valmis tehtäväkokonaisuus matematiikan opetukseen jostakin opettajien hankalaksi kokemasta teemasta. Ryhmät muodostettiin opettajien etukäteen valitsemien aihealueiden ympärille, ja iltapäivän aikana tehtäväkokonaisuuksia kehiteltiin negatiivisista luvuista, prosenttilaskuista ja vastausten arvioinnista sekä matikan kuvasanastoista. Iloisen puheensorinan ja yhteisten oivallusten pohjalta syntyi hienoja tehtäväkokonaisuuksia luokissa kokeiltaviksi.

Päivän lopuksi kahvien nauttimisen yhteydessä koottiin vielä päivän antia yhteen loppukeskustelun sekä Flingaan kerätyn palautteen muodossa. Työpajapäivä sai opettajilta kiitosta erityisesti mielenkiintoisista keskusteluista sekä vertaistuesta ja ideoiden jakamisesta kollegoiden kesken. Opettajat kertoivat saaneensa päivästä uusia ajatuksia ja vinkkejä oman opetuksensa tueksi.

Kiitos kaikille työpajaan osallistuneille mahtaville valo-opettajille sekä innostaville puhujille!

Maija Jonkka

Maija Jonkka on luokanopettajaopiskelija ja Vastaantulon tutkimusavustaja. Hän on tehnyt kandidaatintutkielmansa vastasaapuneiden oppilaiden siirtymisestä yleisopetukseen ja tekee tällä hetkellä myös pro gradu -tutkielmaansa Vastaantulossa.

Vastaantulon linssi zoomaa hankkeen viimeisenä keväänä matematiikan kielen oppimiseen paitsi peruskouluun valmistavassa, myös lukioon valmistavassa opetuksessa. Alkuvuodesta käymme läpi syksyllä yläasteen valmistavassa ryhmässä kerättyä tutkimusaineistoa ja raportoimme löydöksistämme niin kotimaisissa kuin ulkomaisissakin konferensseissa.

Hankkeen kuukausittaiset lukupiirit jatkavat tuttuun tapaan joka kuun viimeinen tiistai, tosin huhtikuussa tapaamme vapun takia jo kuun toiseksi viimeisellä viikolla, tiistaina 23.4. Lukupiireihin ovat tervetulleita sekä opettajat, tutkijat kuin opiskelijatkin. Luettavista artikkeleista saadaan eniten irti silloin, kun paikalla on mahdollisimman kirjava joukko katselemassa tekstiä eri näkökulmista, joten toivotamme kaikki tutkimuskirjallisuudesta kiinnostuneet lämpimästi tervetulleiksi mukaan.

Datasessioissa kokoonnumme joka kuun toinen maanantai analysoimaan Vastaantulon tutkimusaineistoa. Myös datasessioihin ovat tervetulleita kaikki, joita kiinnostaa nähdä, mitä valmistavan opetuksen oppitunneilla tapahtuu. Datasessioihin osallistuneet opettajat ovat kiitelleet mahdollisuutta seurata toisen opettajan työtä ikään kuin kärpäsenä katossa, ajatella asioita hiukan uudesta kulmasta, ja nähdä, miten itselle vieraat valmistavan oppilaat työskentelevät.

Hankkeen neljäs ja viimeinen työpaja pidetään ystävänpäivänä, torstaina 14.2. Työpaja on suunnattu lukioon valmistavan opetuksen parissa työskenteleville, mutta myös peruskoulun vanhimpien oppilaiden opettajat hyötyvät päivästä. Työpajassa keskitytään matematiikan kielen oppimiseen monikielisissä luokissa. Ilmaiseen työpajaan voi ilmoittautua 6.2. mennessä osoitteessa https://elomake.helsinki.fi/lomakkeet/94981/lomake.html

Maaliskuussa kokoonnumme taas pyöreän pöydän palaveriin pohtimaan suullista tiedonhankintaa ja muitakin heikkoja kirjallisia taitoja kompensoivia menetelmiä isommilla oppilailla.

Vastaantulon materiaalipankki on nyt viimeinkin graafikon käsittelyssä ja valmista pitäisi tulla kevään aikana. Luvassa on ainakin opetuslauluja suomen kielen oppimisen alkuvaiheeseen sekä monikielinen tehtäväpaketti erilaisten valmistavan opetuksen teemojen ympärille.

Vastaantulon väki esittelee hankkeen tuloksia tulevan vuoden aikana ainakin Dortmundissa, Kööpenhaminassa, Helsingissä, Hong Kongissa ja Växjössä.

Jos valmistavan opetuksen tutkimus ja kehittäminen kiinnostavat, nyt ehtii vielä hypätä Vastaantulon kelkkaan ja tulla mukaan tilaisuuksiimme! Hanke päättyy syyskuussa 2019, ja syksyllä järjestämme vielä opettajia, tutkijoita ja muita alan toimijoita yhteen kokoavan seminaarin aiheesta.

Kaikista hankkeen tapahtumista tiedotetaan Tapahtumat-sivulla sekä hankkeen Facebook-ryhmässä Vastaantulo.

Ella Väätäisen tiivistelmä Marie Sjöblomin (2018) artikkelista ”Developing mathematical reasoning by using questions in a multilingual mathematics classroom”.*

Taustaa

Sjöblomin artikkelin aiheena on tutkimus, jossa selvitettiin opiskelijoiden esittämien matemaattisten kysymysten merkitystä. Tutkimuksessa keskityttiin pienryhmissä vertaisille esitettyihin kysymyksiin.  Kysymysten oli tarkoitus edistää oppimista ja auttaa opiskelijoita ymmärtämään toistensa päättelyä. Yksi käytetyistä kysymyksistä oli esimerkiksi ”Mitä tarkoitat?”

Tutkimus toteutettiin kolmivaiheisena interventiotutkimuksena monikielisessä lukioluokassa Ruotsissa. Luokan kaikki opiskelijat puhuivat ruotsia toisena kielenään. Kuitenkin ruotsi oli heidän opintojensa kieli, joten muita kieliä käytettiin harvoin. Tavoitteena oli kehittää opiskelijoiden matemaattista päättelyä sekä kommunikaatiota ja tukea monikielisten opiskelijoiden osallistumista matematiikan opintoihin. Analyysin kohteena olivat muutokset siinä, miten opiskelijat käyttivät kysymyksiä oppimisprosessin aikana.

Teoreettiset viitekehykset

Tutkimuksessa on käytetty kahta teoreettista viitekehystä. Kumpaakaan viitekehystä ei ole alun perin suunniteltu monikielisen oppimisen tarkasteluun, mutta tässä tutkimuksessa niitä käytetään toisiaan täydentävästi.

Alrøn& Skovsmosen (2004) kysely-yhteistyömalli (inquiry co-operation model)

Malli tarkastelee kysymyksen muotoilua sekä erilaisiin lopputuloksiin johtavan prosessin suunnittelua.

8 kommunikaatiotapaa:

  1. Kontaktin ottaminen (getting in contact): toisten kuuntelu kunnioittaen ja reagoiden
  2. Paikantaminen (locating): poissulkeminen ja kokeilu
  3. Identifiointi (identifying): matemaattisen idean selvittäminen ja identifiointi
  4. Puoltaminen (advocating): oman näkemyksen ilmaisu uusien ajatusten vastaanottamiseksi, ehdotusten kokeilu ja todentaminen
  5. Ääneen ajattelu (thinking aloud): ideoiden, ajatusten ja tunteiden ilmaisu
  6. Uudelleenmuotoilu (reformulating): aiemmin käsitellyn asian toistaminen
  7. Haastaminen (challenging): uuden suunnan etsiminen kyseenalaistamisen ja uuden näkökulman etsimisen vuoksi
  8. Arvostelu (evaluating): korjaaminen ja kritiikki

Fuentesin (2009) kahdeksan kysymys-/kommentti-vastaus-paria

Mallia käytetään opiskelijoiden keskusteluiden analysointiin.

1. A pyytää B:tä näyttämään työn B näyttää työnsä
2. A pyytää B:tä selittämään työn B selittää työnsä
3. A kritisoi B:n työtä B perustelee työnsä
4. A torjuu B:n perustelun B muodostaa työnsä uudelleen
5. A pyytää B:tä arvioimaan työnsä B arvioi A:n työn
6. A ehdottaa strategiaa ryhmälle Ryhmä koittaa uutta strategiaa
7. A kysyy B:ltä sisältökysymyksen B vastaa A:n kysymykseen
8. A kysyy B:ltä tarkentavan kysymyksen B vastaa A:n kysymykseen

Metodi: Educational design -research

Käytetyn metodin ideana on, että monivaiheisen prosessin myötä tuotetaan sekä teoreettisia että käytännöllisiä tuloksia. Siksi suunnitelmana olikin auttaa opiskelijoita kysymään matemaattisia kysymyksiä teoreettisia viitekehyksiä hyödyntäen. Alrøn& Skovsmosen viitekehyksen avulla tuotiin dialogiset mallit opiskelijoiden keskusteluun ja tuettiin heidän kommunikointiaan. Fuentesin kehyksellä analysoitiin opiskelijoiden käyttämiä kysymystyyppejä.

Esitettyjen kysymysten muutos kolmen vaiheen aikana

Ensimmäinen vaihe

Tutkimuksen fokus oli opiskelijoiden ongelmanratkaisukeskustelun aikaansaamisessa. Opiskelijoille esiteltiin tukikeinot, joita olivat oppikirjanmukainen ongelmanratkaisustrategia, etukäteen annetut kommunikaatioroolit (puheenjohtaja, johtopäätösten tekijä, ajattelija ja kirjanpitäjä) sekä tyhjä kysymyslista, johon kannustettiin kirjoittamaan ylös käytettyjä kysymyksiä.

Alussa oli haastavaa saada opiskelijat käyttämään Alrøn& Skovsmosen mallin tapoja, sillä suuri osa opiskelijoista keskittyi löytämään oikeaa vastausta. Kysymyksiä esitettiin, mutta opiskelijat eivät vastanneet toisilleen (ei kontaktin ottamista). Jälkikäteen analysoituna keskusteluista ei pysty määrittämään rooleja. Näin ollen Fuentesin teoreettista viitekehystä ei voitu käyttää tässä vaiheessa. Opiskelijat eivät ymmärtäneet kyselyn merkitystä, joten toista vaihetta varten opettaja selvensi tavoitteita.

Toinen vaihe

Tehtäviä muutettiin siten, että niissä oli erilaisia ratkaisutapoja sekä useita oikeita vastauksia. Tarkoituksena oli välttää aiempi ratkaisukeskeisyys. Tueksi tarjottiin myös itsenäistä miettimisaikaa kysymysteen valmisteluun, mutta sitä ei useinkaan käytetty. Tukikeinoja tarkennettiin ja roolit vaihdettiin vastuualueisiin (ryhmätyö, kirjoitettu summaus, kysymykset, suullinen esitys).

Toimenpiteiden myötä Alrøn& Skovsmosen mallin kohta 4. eli puoltaminen lisääntyi. Tämä vaati kuuntelua, vastauksia ja rakentamista. Vertaisille esitetyt kysymykset vaikuttivat auttavan ryhmää vastauksen löytämisessä. Edelleenkään kysymyksen tarkoitus ei ollut täysin selvä kaikille.

Kolmas vaihe

Tehtävänanto muutettiin kaikille samaksi monialaiseksi tehtäväkokonaisuudeksi ja tehtäviin oli edelleen monia oikeita ratkaisutapoja sekä vastauksia. Kommunikaatioroolit pysyivät samana kuin toisessa vaiheessa, mutta ongelmanratkaisustrategiaan yhdistettiin valmis kysymyslista. Opiskelijat kokeilivat yhdistettyä listaa jo valmistautumisvaiheessa ja opettaja kävi luokan kanssa metakeskustelun siitä, miten ja miksi he käyttivät listaa.

Toimenpiteiden myötä opiskelijat pyrkivät kysymään ja ymmärtämään toistensa päättelyä. Työskentelyssä ilmeni edelleen kohta 4: puoltaminen ja lisäksi 7: haastaminen. Viimeisessä haastattelussa opiskelijat kertoivat, että yhdistetyn listan kanssa työskentely oli helpompaa. Myös fokus matemaattisiin keskusteluihin koko luokan keskusteluissa ja haastatteluissa saattoi parantaa asenteita. Lisäksi kolmannessa vaiheessa opiskelijat tunsivat jo toisensa ja he olivat valmistautuneita ryhmätyöskentelyyn. Asenteet muuttuivat positiivisemmaksi, vaikka opiskelijat eivät aina kokeneet kysymyslistaa merkitykselliseksi.

Johtopäätökset

Tutkimuksen opiskelijat olivat kykeneviä käyttämään toista kieltä matemaattiseen ongelmanratkaisuun. Kuitenkin ryhmätyöskentely oli monille uutta, joten opiskelijat tarvitsivat siihen tukea. Tehtävänannon merkitystä ei usein ymmärretty. Fuentesin mukaan kommunikaation puute ja normit vaikuttavat vuorovaikutukseen. Siksi olikin tärkeää tunnistaa ryhmien sosiaalinen ilmapiiri ja muuttaa toimenpiteitä sen mukaan.

Aktiivinen vuorovaikutus on tärkeää monikielisille opiskelijoille matematiikan oppimisessa. Tutkimuksen perusteella voidaankin siis todeta, että opiskelijoiden välisen vuorovaikutuksen vahvistaminen on tärkeämpää kuin se, että puututtaisiin suoraan opiskelijoiden toisen kielen kompetensseihin. On tärkeää kehittää matemaattista ja kielellistä osaamista samaan aikaan huomioiden sen, että vuorovaikutuksen fokuksen on oltava tavoitteellinen.

 

Ella Väätäinen opiskelee kolmatta vuotta luokanopettajaksi Helsingin yliopistossa. Hän tekee kandidaatintutkielmaansa Vastaantulossa aiheenaan suomen kielen oppimateriaalit valmistavassa opetuksessa.

* Marie Sjöblomin artikkeli ”Developing mathematical reasoning by using questions in a multilingual mathematics classroom” on julkaistu Nordic Studies in Mathematics Educationin numerossa 3-4 (2018).

Mitä matematiikassa pitää osata ja mitä silloin opitaan?

Matematiikan osaaminen on kykyä muotoilla, käyttää ja tulkita matematiikkaa eri tilanteissa. Matematiikan osaamiseen kuuluvat matemaattinen päättely, sekä matemaattisten tietojen, käsitteiden, menetelmien ja välineiden käyttäminen ilmiöiden kuvaamisessa, selittämisessä ja ennustamisessa.

Matematiikan oppimisessa käsitteiden ja prosessien oppiminen käyvät rinnakkain toisiaan täydentäen. Monet matemaattiset käsitteet sisältävät myös prosessin. Esimerkiksi symmetria voidaan ymmärtää sekä geometrisen muodon ominaisuudeksi, että yhtä lailla itse prosessiksi esimerkiksi peilautumiseksi. Samoin abstrakteja käsitteitä kuten luku ja funktio voidaan tarkastella joko objekteina tai prosesseina. Kaksi usein käytettyä näkemystä matematiikan oppimisesta ovat Anna Sfardin (1991) esittämä ”matemaattisten käsitteiden kaksitahoinen luonne” ja David Tallin (2004) ”kolme matematiikan maailmaa”.

Sfard esittää, että käsitteenmuodostusprosessissa toiminnallinen käsitys edeltää rakenteellista. Kun piirrämme funktion kuvaajan, se on vain eräs useista tavoista kuvata abstraktia käsitettä, jota emme kykene näkemään tai tunnustelemaan. Itse asiassa eräs oleellinen osa matemaattista osaamista on kyetä “näkemään” nämä näkymättömät oliot. Toiminnallinen käsitys syntyy siis prosessin tuloksena ja sitä tukee sanallinen kuvailu. Sfardin mukaan se on edellytys ongelmanratkaisutaidon kehittymiselle.

Tall kuvaa matemaattisten käsitteiden ja prosessien oppimista kolmen matematiikan maailman avulla. Ensimmäinen näistä on koettu matematiikan maailma. Tässä maailmassa jokin on totta, koska se voidaan nähdä totena. Näin on esimerkiksi aritmetiikassa, jossa jokin väite voidaan osoittaa todeksi laskemalla. Toinen maailma on matematiikan symbolien maailma. Tässä maailmassa jokin on totta, kun se voidaan osoittaa symbolisen manipulaation keinoin todeksi. Näin on esimerkiksi algebrassa. Kolmas maailma on formaali matematiikan maailma, jossa jokin on totta, koska se toteuttaa aksiooman, määritelmän tai se voidaan todistaa oikeaksi. Matematiikan oppimisprosessissa oppija kulkee näiden maailmojen välillä ja joutuu pohtimaan aikaisempia käsityksiään. Tässäkin ajatusten kielentämisellä on tärkeä rooli.

Millaista kieltä matematiikan oppimisessa tarvitaan?

Matematiikan tehtävien kieli on oppijoille usein vaikeaa. Se kuulostaa vanhahtavalta ja eroaa arkikielestä monessakin mielessä. Se sisältää outoja ja vähän käytettyjä, ei-matemaattisia sanoja kuten ”merkitty yhtäsuuruus”, joilla on tietty merkitys, mutta jotka kuulostavat omituisilta. Matematiikan kieltä kirjoitetaan myös passiivissa ”murtoluvut lavennetaan samannimisiksi” ikään kuin kukaan ei todellisuudessa olisi tekemässä mitään. Monet käsitteet, jotka yrittävät olla yksiselitteisiä, kuten ”ympyräpohjainen lieriö” tai ”yhdensuuntainen suora”, ovat uskomattoman pitkiä. Teksti vilisee konditionaaleja ja relatiivilauseita, monimutkaisia kysymyslauseita ja persoonattomia ilmauksia. (Abedi & Lord, 2001.)

Esimerkkinä matematiikan kielestä seuraava PISA2012-tehtävä (PM921Q04):

Ovatko seuraavat näitä kolmea pingviinilajia koskevat väittämät yllä olevan diagrammin perusteella oikein vai väärin?

Vuonna 2000 keskimääräinen poikasluku pingviinipariskuntaa kohden oli suurempi kuin 0,6.

Vuonna 2006 keskimäärin vähemmän kuin 80 % pingviinipariskunnista kasvatti poikasen.

Noin vuoteen 2015 mennessä nämä kolme pingviinilajia ovat kuolleet sukupuuttoon.

Patagonianpingviinin keskimääräinen poikasluku pingviinipariskuntaa kohden aleni vuosien 2001 ja 2004 välillä.

Matematiikan kieli on siis muutakin kuin semantiikkaa, erityissanastoa, uusia sanoja ja uusia merkityksiä tutuille sanoille ja teknisille termeille. Matematiikan kielellä on oma diskurssinsa, syntaksinsa ja käytänteensä. (Riordain & Mccluskey, 2015.)

Matematiikan kieli oppitunnilla

Moschkovich (2007, 2012) kuvaa matematiikan oppitunnin diskurssia monimuotoiseksi ja tilannesidonnaiseksi. Matematiikan kieli näyttäytyy oppilaalle monin tavoin: suullisena, kirjallisena, ulkoa omaksuttuna ja itse tuotettuna. Se sisältää matemaattisia olioita, kuvia, sanoja, symboleja, taulukkoja ja kaavioita.

Matemaattiset tekstit voivat olla oppikirjan tekstiä, sanallisia tehtäviä, oppilaan kirjallisia selityksiä ja opettajan kirjoitettua tekstiä. Matematiikan puhuttu kieli voi erota sen mukaan onko se yleistajuista vai tiedonalakohtaista ja mille kohdeyleisölle se on suunnattu, opettajalle vai oppilaille ja kuka sen on tuottanut, opettaja vai oppilas. (Moschkovich, 2007, 2012.)

Erityisesti tutkimuksissa on havaittu, että kaksikieliset oppilaat käyttävät kommunikoidessaan matematiikasta runsaammin eleitä ja kuvailevia elementtejä kuten kaavioita (Ng, 2016). Visuaaliset esitykset voivatkin menestyksekkäästi tukea matematiikan oppimista, jos ne ovat selkeitä ja niiden merkitys käy ilmi muusta matemaattisesta ilmaisusta (Truxaw & Rojas, 2014).

Lisäksi kaksikieliset oppilaat vaihtavat oman äidinkielensä ja opetuksen kielen välillä sen mukaan, mitkä käsitteet ja prosessit ovat tulleet tutuiksi milläkin kielellä. Planas ja Setati (2009) havaitsivat, että tyypillisesti oppilaat ratkaisivat ongelmatehtävät omalla äidinkielellään, mutta selittivät ratkaisunsa opetuskielellä.

Kun haluamme vahvistaa matematiikan käsitteiden oppimista, meidän on huomioitava, että kyse on kokonaisuudesta, joka sisältää sekä kielellistä, matemaattista, visuaalista että kontekstuaalista informaatiota. Matemaattinen merkitys rakentuu tilanteisesti: tekstilajille tyypilliset kiteytymät opitaan ulkoa, sanallisten tehtävien tukena käytetyt kuviot toistavat kielellisen informaation visuaalisesti ja kontekstuaaliset piirteet tukevat ymmärrystä.

Lähteet:

Abedi, J., & Lord, C. (2001). The language factor in mathematics tests. Applied Measurement in Education, 14(3), 219-234.

Moschkovich, J. (2005). Using two languages when learning mathematics. Educational Studies in Mathematics 64, 121–144.

Moschkovich, J. (2007). Using two languages when learning mathematics. Educational studies in Mathematics, 64(2), 121–144.

Moschkovich, J. (2012). Mathematics, the Common Core, and language: Recommendations for mathematics instruction for ELs aligned with the Common Core. Understanding language: Commissioned papers on language and literacy issues in the Common Core State Standards and Next Generation Science Standards (pp. 17–31).

Ng, O. L. (2016). The interplay between language, gestures, dragging and diagrams in bilingual learners’ mathematical communications. Educational Studies in Mathematics, 91(3), 307-326.

Planas, N. & Setati, M. (2009), Bilingual Students using their Languages in the Learning of Mathematics. Mathematics Education Research Journal, 21(3), 36–59.

Riordain, M. N., & Mccluskey, A. (2015). Bilingual mathematics learners, conceptual mathematical activity and the role of their languages. How best to investigate? In CERME 9-Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 1454–1460).

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational studies in mathematics, 22(1), 1–36.

Tall, D. (2004). Thinking through three worlds of mathematics. Teoksessa Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, s. 281-288).

Truxaw, M. P., & Rojas, E. D. (2014). Challenges and affordances of learning mathematics in a second language. Journal of Urban Mathematics Education, 7(2), 21–30.

Päivi Portaankorva-Koivisto on filosofian tohtori, joka työskentelee Helsingin yliopiston kasvatustieteellisessä tiedekunnassa matematiikan didaktiikan yliopistonlehtorina. Häntä kiinnostavat erityisesti matematiikan opetuksen elämyksellisyyteen vaikuttavat asiat kuten matematiikan kokemuksellisuus, havainnollisuus, tutkimuksellisuus,  kielenomaisuus ja vuorovaikutuksellisuus.